Série et produit infini

Publié le 17/11/16

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)
Soient {x\in\,\mathbb{R}^{+*}} et, pour {n\in\,\mathbb{N}^{*}}, {u_{n}=\dfrac{n!}{x^{n}}\,\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{x}{k}\Bigr)}.

  1. Préciser la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\bigl(\ln(u_{n+1})-\ln(u_{n})\bigr)}. En déduire {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n(x)}.
  2. Trouver {\alpha\in\mathbb{R}} tel que la série de terme général {v_{n}-\alpha\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)} converge.
  3. En déduire qu’il existe un réel {A > 0} tel que {u_{n}\sim An^{\alpha}} quand {n\to+\infty}.

  1. Soit {n\ge 1 } et soit {x>0}, on a :
    \begin{array}{rl}\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}&=\dfrac{n}{x}\left(1+\dfrac{1}{n}\right) \ln \left(1+\dfrac{x}{n(1+1/n)}\right)\\\\&=\dfrac{n}{x}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\ln \left(1+\dfrac{x}{n}-\dfrac{x}{n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\right)\\\\&=\dfrac{n}{x}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\biggl(\dfrac{x}{n}-\dfrac{x+x^2/2}{n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\biggr)\\\\&=\dfrac{n}{x}\left(\dfrac{x}{n}-\dfrac{x^2}{2n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\right)=1-\dfrac{x}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\end{array}

    Finalement, quand {n\to+\infty}\,:
    {v_{n}=\ln(u_{n+1})-\ln(u_{n})=\ln\left(1-\dfrac{x}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\sim- \dfrac{x}{2n}}

    Ainsi {\displaystyle\sum_{n\ge1}v_{n}} diverge, et {\ln(u_{n})-\ln(u_{1})=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}v_{k}} tend vers -\infty.

    Il en résulte {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_{n}=0}.

  2. On trouve : {\begin{array}{rl}v_n-\alpha \ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)&=\ln\left(1-\dfrac{x}{2n}+O\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\right)-\left(\dfrac{\alpha}{n}+O\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\right)\\\\&=-\dfrac{1}{n}\Bigl(\alpha+\dfrac{x}{2}\Bigr)+O\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\end{array}}
    Pour que la série converge, il est donc nécessaire et suffisant que {\alpha=-\dfrac{x}{2}}.

  3. Si {n\ge1}, soit {w_n=v_n+\dfrac{x}{2} \ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)} et {W=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} w_n}. On a :

    {\begin{array}{rl}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}w_k&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}v_k+ \dfrac{x}{2} \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\bigl(\ln(k+1)-\ln(k)\bigr)\\\\&= \ln(u_n)-\ln(u_1)+\dfrac{x}{2}\ln(n)\end{array}}
    Par suite : {\ln(u_n)=-\dfrac{x}{2}\ln(n)+C+o(1)} avec {C=W+\ln(u_1)}.

    En passant à l’exponentielle : {u_n \sim A\,n^{-x/2}} avec {A=e^C>0}.