Polynômes positifs sur IR+

Publié le 18/11/16

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2013)
Soit {P\in\mathbb{R} [X]}. Montrer que {(a)\Leftrightarrow(b)}:
(a) {\forall x\in\mathbb{R}^{+},\;P(x)\ge 0}
(b) {\exists(A,B)\in\mathbb{R}[X]^{2},\;P(X)=A^{2}+XB^{2}}
Dans le sens {(b)\Rightarrow a)}, c’est évident.

On se donne donc P\in\mathbb{R}[X] tel que {\forall x\in\,\mathbb{R}^{+},\;P(x)\ge 0}.

Il faut montrer que P est dans {E}=\{A^{2}+XB^{2},\;(A,B)\in\mathbb{R}[X]^{2}\}

On constate que {E} est stable pour le produit.
En effet, soit {U=A^{2}+XB^{2}} et {V=C^{2}+XD^{2}}.
Alors {UV=(AC+XBD)^{2}+X(AD-BC)^{2}}.

Il suffit donc de prouver que P est un produit de polynômes {A^{2}+XB^{2}}.

Dans la décomposition en produits de facteurs de {P} dans {\mathbb{R}[X]}, il y a:

  • Des trinômes {R=X^{2}+bX+c} avec 4c > b^{2} donc {2\sqrt{c} > |b|}.
    On note que {R=(X-\sqrt c)^{2}+X(b+2\sqrt{c})}
    Ainsi {R=A^{2}+XB^{2}}{\begin{cases}A=X-\sqrt{c}\\B=\sqrt{b+2\sqrt{c}}\end{cases}}.

  • Des facteurs {X-a} (correspondant aux racines réelles {a}).
    • Si la multiplicité de {a} est un entier pair {2m}:
      Alors {(X-a)^{2m}=A^{2}+XB^{2}}\begin{cases}A=(X-a)^m\\B=0\end{cases}
    • Si la multiplicité de {a} est un entier impair {2m+1}:
      Alors {a\le0} sinon {P} changerait de signe sur {\mathbb{R}^{+*}}
      On écrit {a=-b^{2}}, avec {b\ge0}.
      Alors: {X-a=b^{2}+X=A^{2}+XB^{2}}\begin{cases}A=0\\B=1\end{cases}.
  • Le coefficient dominant {\lambda>0} (qui est lui-même un élément de {E}!).

Ainsi {P} est un produit d’éléments de {E} donc est un élément de {E}.