Entiers premiers 4m+1

Publié le 21/11/16

Montrer qu’il existe une infinité d’entiers premiers de la forme {4m+1}.
Par l’absurde, on suppose qu’il n’y a qu’un nombre fini d’entiers premiers de la forme {4m+1}.
On les note {p_{1},p_{2},\ldots,p_{n}}. On pose {A=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}p_{k}}, puis {B=A^{2}+1}.
L’entier {A} est impair, donc {B\equiv 2~[4]}.

Mais {B>2} donc B est divisible par un entier premier impair {q}.

L’entier q ne divise pas A (sinon il diviserait B-A^2=1).

D’après le petit théorème de Fermat, on a donc : {A^{q-1}\equiv 1~[q]}.

L’entier q n’étant pas l’un des {p_{k}} (il ne divise pas A) on a: {q\equiv 3~[4]}.

Posons {q=4m+3}. On a alors : {q\mid A^{q-1}-1=A^{4m+2}-1=(A^{4m}-1)A^{2}+A^{2}-1}.

Mais {\,q\mid B=A^{2}+1}, donc {\,q\mid A^{4}-1}, donc {\,q\mid A^{4m}-1}.

Finalement {\,q\mid A^{2}+1} et {\,q\mid A^{2}-1} donc {\,q\mid 2} et c’est absurde.