Entiers premiers 4m-1

Publié le 22/11/16
Sur mobile, on recommande le "mode paysage"

Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme {4m-1}.
Par l’absurde, on suppose qu’il n’en existe qu’un nombre fini.

On les note {(p_k)_{1\le k\le n}}. On pose {A=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}p_k}, puis {B=4A-1}.

L’entier {B}, de la forme {4m-1} et supérieur aux {p_k}, ne peut pas être premier.

Si les facteurs premiers de {B} (tous impairs) étaient du type {4m + 1}, on aurait {B\equiv 1\ [4]}: faux!

L’entier {B} possède donc au moins un diviseur premier p_k.

Ainsi p_k divise B et A, donc divise 4A-B=1 : absurde!

Conclusion : il y a une infinité d’entiers premiers de la forme {4m-1}.