Égalité AC=CB avec C de rang r

Publié le 14/11/16

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2013)
Soient A, B,C\in\, \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}) telles que AC=CB. On note r le rang de C.
Montrer que A et B possèdent au moins r valeurs propres en commun (comptées avec leur ordre de multiplicité).
On sait qu’il existe P,Q\in\,\mathcal{GL}_{n}(\mathbb{C}) telles que C = PJ_{r}Q avec J_{r}=\begin{pmatrix} I_{r}&0\\ 0&0\end{pmatrix}.

L’égalité AC = CB devient (P^{-1}AP)J_{r} = J_{r}(QBQ^{-1}).

Si on raisonne par blocs, cela implique que P^{-1}AP et QBQ^{-1} sont triangulaires par blocs, avec le même premier bloc diagonal (de taille {r}). Ainsi les polynômes caractéristiques de P^{-1}AP et QBQ^{-1} (donc ceux de A et B) ont un facteur de degré r en commun.