Une conséquence de ||u(x)|| ≤ ||x||

Publié le 27/11/16

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2015)
Soit {E} un espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que : {\forall x\in E,\;\left\|{u(x)}\right\|\le\left\|{x}\right\|}.
Montrer que {E = \text{Ker}(u-\text{Id})\oplus\text{Im}(u-\text{Id})}.
Soit {x} dans {\text{Ker} (u-\text{Id})\cap \text{Im} (u-\text{Id})}.

Ainsi {u(x)=x}, et il existe {y\in E} tel que {x=u(y)-y}.

On en déduit {x=u(x)=u^2(y)-u(y)}.

Par une récurrence facile : {\forall\,k \in \mathbb{N},\;x=u^k(y)-u^{k-1}(y)}.

Par addition et télescopage, on obtient: {\forall\,n\in\,\mathbb{N}^{*},\;x=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\bigl(u^k(y)-u^{k-1}(y)\bigr)=\dfrac{1}{n}\bigl(u^n(y)-y\bigr)}Ainsi : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;\left\|{x}\right\|\le \dfrac{1}{n}\bigl(\left\|{u^{n}(y)}\right\|+\left\|{y}\right\|\bigr)}.

Or {u} diminue la norme donc {\left\|{u^{n}(y)}\right\|\le \left\|{y}\right\|}.

On en déduit {\left\|{x}\right\|\le \dfrac{2}{n}\left\|{y}\right\|} pour tout {n\in\mathbb{N}}, donc {x=0} quand {n\to +\infty}.

Ainsi {\text{Ker}(u-\text{Id})\cap \text{Im}(u-\text{Id})=\{0\}}.

Finalement {E=\text{Ker}(u-\text{Id})\oplus \text{Im}(u-\text{Id})} car {\text{dim}(E)\lt+\infty}.