Base de matrices de rang p

Publié le 16/11/16

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2010)
Soient {n\in\,\mathbb{N}^*} et {p\in\{1,\ldots ,n\}}. Montrer que toute matrice de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} de rang 1 s’écrit comme différence de deux matrices de rang {p}. En déduire qu’il existe une base de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} formée de matrices de rang {p}.
Soit {J_r} la matrice dont les coefficients sont nuls sauf ceux d’indice {(i,i)}, avec {i\in\{1,\ldots ,n\}}, et qui valent {1}. On sait qu’une matrice {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} est de rang {r} si et seulement si elle est équivalente à la matrice {J_r}.

Si A est de rang {1}, elle s’écrit donc {A=PJ_1Q}, avec {P,Q} dans {GL_n(\mathbb{K})}.

Mais {J_1=(J_{1}+J_{p})-J_{p}} et les deux matrices {J_{1}+J_{p}} et {J_{p}} sont de rang {p}.

On en déduit {A=B-C}, avec {B=P(J_{1}+J_{p})Q} et {C=PJ_{p}Q}, toutes deux de rang {p}.

Ainsi les matrices de la base canonique (qui sont de rang {1}) s’écrivent comme la différence de matrices de rang {p}. Les matrices de rang {p} forment donc une famille génératrice de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}. De cette famille génératrice, on peut extraire une base de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}, et c’est fini.