Une suite trivialement convergente

Publié le 06/07/13

Voici un exercice dont m’a parlé mon collègue Thierry Dugardin.

On se donne deux réels a et b strictement positifs.

On définit une suite (u_n) par u_0=a, u_1=b et la relation u_{n+2}=\displaystyle\frac{2}{u_{n}+u_{n+1}}.

Question: montrer que la suite (u_n) converge vers 1.

Démonstration: c’est triviaaaal

L’animation Mathematica ci-dessous vous permet de déplacer le point (a,b) dans le plan, de modifier sa position avec la souris, et de visualiser la convergence de la suite (u_n). Pour cela, le programme trace et relie une trentaine de points (u_n,u_{n+1}).