Podaires d’une parabole

Publié le 07/06/13

Suite à un problème partiellement traité en classe, j’ai écrit cette petite animation Mathematica illustrant la podaire d’une parabole par rapport à un point A.

(si ça ne s’affiche pas bien, ou seulement comme une image fixe, il vous faudra peut-être installer le plug-in Wolfram CDF Player)


Quelques explications s’imposent:

  • La podaire d’une parabole (P) par rapport à un point A est l’ensemble des projections de A sur les tangentes à (P).
  • On a tracé ici la parabole (P), sa développée (le lieu de ses centres de courbure), et on déplace librement le point A avec la souris (merci Mathematica).
  • On peut modifier l’ordonnée t du point courant sur la parabole. La tangente en ce point à la parabole, et le segment reliant A à sa projection sur cette tangente, sont alors tracés automatiquement.
  • Si le point A est à droite de la développée de (P), on peut mener trois normales distinctes de A sur (P). Les points d’intersections de ces normales avec (P) sont les points de contact de la podaire et de la parabole (et ces deux courbes ont alors en ce point une tangente commune).
  • Si A est à gauche de la développée, on ne peut plus mener qu’une seule normale de A sur la parabole (et il n’y a plus qu’un point de contact avec tangente commune).
  • La podaire est toute entière à l’extérieur de la parabole.
  • Si A est lui-même à l’extérieur de (P), il est sur la podaire (et il en est un point double).
  • Si A est sur la parabole, il est aussi sur la podaire (mais représente alors un point de rebroussement de celle-ci).

Si ça ne suffit pas, voici l’énoncé et le corrigé du problème.